Corso Elettrotecnica I

Due condensatori possono essere collegati tra loro, medianti fili conduttori, a formare un sistema di condensatori; ciò può essere fatto in due modi, detti rispettivamente collegamento in parallelo e collegamento in serie.

4.4.1 Collegamento in parallelo

Nel collegamento in parallelo le armature dei due condensatori vengono collegate a due a due (la prima armatura del primo condensatore alla prima armatura del secondo condensatore, e le seconde armature tra di loro; vedi figura 4.11).

Figura 4.11

Il sistema così ottenuto è un sistema di due conduttori, A e B, che costituisce (se si trascura la capacità dei fili di collegamento) esso stesso un condensatore, la cui capacità C può essere facilmente espressa in termini delle capacità C₁ e C₂ dei due condensatori di partenza. Quando i condensatori sono considerati separatamente, si ha: 

Q₁ =  C₁V₁                 Q₂ =  C₂V₂             (4.14)

ove Q₁ e Q₂ sono le cariche rispettivamente possedute da C₁ e C₂, e V₁ e V₂ le rispettive differenze di potenziale. In virtù del collegamento in parallelo, però, si ha:

 V₁ = V₂ = |V_B - V_A| = V

per cui sommando membro a membro le 4.14 si ottiene:

Q₁ + Q₂ = C₁V₁ + C₂V₂ = C₁V + C₂V = (C₁ + C₂)V

 da cui:

(C₁ + C₂) = (Q₁ + Q₂)/V = Q/V = C

avendo tenuto conto del fatto che Q₁ + Q₂ rappresenta la carica Q posseduta complessivamente dalla capacità C (figura 4.12).

Figura 4.12

Dunque, la capacità C del sistema formato da due o più condensatori collegati in parallelo è pari alla somma delle rispettive capacità:

 C = Σ C_i         (4.15)

Consideriamo il seguente circuito (figura 4.8) per la generazione di un impulso di corrente.

Figura 4.8

Il condensatore abbia, per semplicità, capacità C = 1 F; supponiamo di applicare ai capi del condensatore una rampa di tensione (figura 4.9) da V = 1 V.

 Figura 4.9

Ne risulta che la forma d'onda della corrente del condensatore ic(t) è un impulso rettangolare di ampiezza 1/Δ e larghezza Δ. Allora, dall'equazione 4.8 abbiamo che:

 i_c(t) = C × dv/dt = C × V/Δ

Figura 4.10

ove Δ è l'intervallo di tempo in cui il generatore raggiunge il valore di tensione di 1 V.

   L'area dell'impulso è pari a 1 indipendentemente dal valore di Δ (essendo sia C che V di valore unitario: in generale l'area varrebbe CV). Se  allora v_s(t) tende alla funzione gradino unitario (figura 4.10), mentre la corrente tende alla funzione impulso unitario δ(t) (funzione di Dirac; l'unità di misura di δ(t) è ampiezza/secondi):

δ=		singolare per t=0
		0 per t ≠ 0

e che inoltre ha:

  _-∞∫^+∞ δ(t) = _-ε∫^+ε δ(t) = 1   ∀ ε > 0           (F4.13)

4.2.1 Circuito aperto

Si è visto nella lezione precedente che la presenza di un materiale isolante tra le armature del condensatore non permette il passaggio della corrente continua; di conseguenza, in presenza di corrente continua, un condensatore si comporta come un circuito aperto.

Tuttavia, se la tensione presente ai morsetti del condensatore cambia in funzione del tempo, cambierà anche la carica presente sulle armature del condensatore, dal momento che il grado di polarizzazione del dielettrico è funzione del campo elettrico applicato, che è tempo-variante. In un condensatore, la separazione di carica causata dalla polarizzazione del dielettrico è proporzionale alla tensione esterna, cioè al campo elettrico applicato:

Q = CV

che è proprio la formula 4.1 vista nella lezione precedente. Se la tensione esterna applicata alle armature del condensatore cambia nel tempo, cambierà la carica immagazzinata internamente dal condensatore:

q(t) = Cv(t)      (F4.6)

Perciò, benché non possa passare corrente attraverso il condensatore se la tensione ai suoi capi è costante, una tensione tempo-variante farà variare la carica nel tempo. La variazione nel tempo della carica immagazzinata è analoga ad una corrente: questo lo si può facilmente vedere se ricordiamo la definizione di corrente data nel Capitolo 2 (formula 2.2):

i(t) = dq(t) / dt      (F4.7)

cioè, la corrente elettrica corrisponde al tasso di variazione nel tempo della carica. Differenziando l'equazione 4.6, si può ottenere una relazione tra la corrente e la tensione in un condensatore:

i(t) = C × dv(t) / dt      (F4.8)

Si può notare che se v non dipende dal tempo, cioè v(t) = V = costante, allora i(t) = 0, cioè non si ha passaggio di corrente, come preannunciato.

4.2.2 Caratteristica del condensatore

L'equazione 4.8 è la legge circuitale che definisce un condensatore. In termini di caratteristica, il condensatore è un elemento a due terminali definito dalla relazione:

f_C(q, v, t) = 0

Se f_C non dipende dal tempo, allora il condensatore è tempo-invariante, cioè f_C(q, v) = 0, che è, matematicamente, la forma implicita della 4.6. Se la capacità C è una costante, il condensatore è lineare e tempo-invariante (cioè la capacità non varia, mentre possono tranquillamente variare q e v). In tal caso, la caratteristica q-v è una retta passante per l'origine, come mostrato in Figura 4.3.

Figura 4.3

Può essere interessante esaminare l'analogia tra l'equazione F4.8 e l'equazione che descrive il comportamento di una forza nei confronti di una data massa. Se u(t) rappresenta la velocità della massa M e f(t) rappresenta la forza che agisce su di essa, la legge di Newton stabilisce che:

f(t) = Mu(t)      (F4.9)

Il principio è illustrato in Figura 4.4.

i(t) = C × dv(t) / dt		f(t) = M × du/dt
Figura 4.4 Analogia forza/massa con corrente/capacità

Se andiamo ad integrare l'equazione differenziale che definisce la relazione i-v per un condensatore, si può ottenere la seguente relazione per la tensione presente ai capi del condensatore:

v_c(t) = 1/C × _-∞∫^t i_c(τ)dτ 

e da questa, ricordando la F4.6, si ricava la carica q(t) associata al condensatore all'istante arbitrario t:

q(t) = _-∞∫^t i_c(τ)dτ       (F4.10)

L'equazione 4.10 mostra che la tensione del condensatore dipende dalla "storia" del condensatore, dal lontano passato fino all'istante t al presente.
   Naturalmente, di solito non si hanno precise informazioni riguardanti la corrente passata per il condensatore ad ogni istante, ed è perciò utile definire la condizione iniziale, ossia una tensione V₀=v_c(t₀) ove t₀ è un istante arbitrario di tempo:

V₀ = v_c(t=t₀) = 1/C &times _-∞∫^t₀ i_c(τ)dτ       (F4.11)

La tensione del condensatore è ora data dall'espressione:

v_c(t) = 1/C × _t0∫^t i_c(τ)dτ + V₀ per t ≥ t₀      (F4.12)

Il significato della tensione iniziale V₀ è semplicemente che al tempo t₀ un po' di carica è immagazzinata nel condensatore, dando luogo ad una tensione vC(t₀) in base alla relazione Q = CV. La conoscenza di questa condizione iniziale è sufficiente per considerare l'intera storia passata della corrente del condensatore. Si noti, poi, che un condensatore lineare con tensione iniziale v0 è indistinguibile esternamente da un bipolo formato da un condensatore inizialmente scarico in serie con un generatore di tensione v0, come mostrato in figura 4.5. 

Figura 4.5

 Un'altra proprietà importante dei condensatori è quella di continuità: se la forma d'onda della corrente  i_c(t)  in un condensatore si mantiene limitata in un intervallo chiuso [t_a, t_b], allora la tensione v_c(t) ai capi del condensatore è una funzione continua nell'intervallo aperto (t_a, t_b), come mostrato, ad esempio, in figura 4.6. 

Figura 4.6

Per dimostrare questa affermazione, prendiamo in esame l'intervallo [T, T+dt] compreso in [t_a, t_b]: si ha:

 v_c(T + dt) - v_c(T) = 1/C × _T∫^T+dt i_c(τ)dτ

Poiché i_c(t) è limitata in [t_a, t_b], esiste una costante finita M tale che |i_c(t)| < M per ogni t. Quindi per dt → 0 si ha:

  v_c(T + dt) - v_c(T) = 1/C × _T∫^T+dt i_c(τ)dτ → 0

ed al limite v_c(T⁺) = v_c(T^-) per cui la tensione è effettivamente continua. Poichè in pratica la corrente è sempre una quantità finita, non si possono avere cambiamenti di tensione istantanei ai capi di un condensatore.

4.1.1 Introduzione

Il resistore ideale è stato introdotto tramite la legge di Ohm nel Capitolo 2 come una utile idealizzazione di molti dispositivi elettrici reali. Tuttavia, in aggiunta alla resistenza al flusso della corrente elettrica, che è un fenomeno puramente dissipativo, i dispositivi elettrici possono anche manifestare proprietà di accumulo dell'energia, più o meno allo stesso modo in cui una molla può immagazzinare energia meccanica.
     Nei circuiti elettrici esistono due differenti meccanismi per l'accumulo di energia: la capacità e l'induttanza, entrambi conducenti all'accumulo di energia in un campo elettromagnetico. Per gli scopi che ci proponiamo, non sarà necessario entrare nell'analisi elettromagnetica dettagliata di questi dispositivi. Piuttosto, verranno introdotti due elementi circuitali ideali per rappresentare le proprietà di accumulo capacitivo ed induttivo di energia: il capacitore (detto anche condensatore) ideale e l'induttore ideale. Questi sono dispositivi dinamici poiché, come vedremo, sono descritti da equazioni differenziali. Va detto chiaramente che capacitori ed induttori ideali non esistono, rigorosamente parlando; tuttavia, proprio come nel caso del resistore ideale, questi elementi "ideali" sono molto utili per la comprensione del comportamento dei circuiti reali. In pratica, ogni componente di un circuito elettrico mostrerà un po' di resistenza, un po' di induttanza ed un po' di capacità, cioè presenterà un po' di dissipazione di energia ed un po' di accumulo di energia.
     La situazione qui descritta è completamente analoga alla descrizione comunemente data ai sistemi meccanici, i quali implicano elementi frizionali, elastici ed inerziali (ossia smorzatori, molle e masse). L'analogia con i sistemi meccanici sarà sviluppata in parallelo con la descrizione dei nuovi elementi circuitali.

4.1.2 Il capacitore ideale

Il capacitore (o condensatore) è un dispositivo che può immagazzinare energia sotto forma di campo elettrico, mediante separazione di carica. Supponiamo che una batteria sia collegata a due corpi conduttori separati da un mezzo isolante (figura 4.1). La batteria determinerà un trasferimento di carica da un corpo all'altro, lasciando un corpo con una carica positiva e l'altro con una carica negativa uguale in modulo.

Figura 4.1

La quantità di carica trasferita da un corpo all'altro è determinata dalla tensione della batteria, la grandezza e la forma dei corpi, la distanza tra i corpi stessi e dalla permeabilità del mezzo che separa i corpi. Ricordiamo qui che la permeabilità è una proprietà del mezzo; vi sono due tipi di permeabilità: la permeabilità elettrica (che è quella qui considerata) e la permeabilità magnetica (che ci servirà in seguito a proposito dell'induttore).
     Perciò, ad esempio, se diminuisce la distanza tra i corpi, aumenta la quantità di carica che viene trasferita. Anche l'aumento della tensione della batteria incrementa la quantità di carica che viene trasferita. Specificatamente, se Q è la quantità di carica in Coulomb trasferita dal corpo A al corpo B, allora:

dove V è la differenza di potenziale del corpo A rispetto al corpo B in volt, e C è una costante chiamata capacità ed è espressa in farad (F). Il farad è un'unità troppo grande per poter essere adoperata; pertanto si usano comunemente i sottomultipli come il microfarad (1 µF = 10^-6 F) o il picofarad (1 pF = 10^-12 F). La capacità è una quantità positiva che è funzione dell'area superficiale dei corpi, della permeabilità del mezzo e della distanza tra i corpi.

L'esperienza mostra che la capacità aumenta se diminuisce la distanza tra i corpi e/o se aumenta l'area superficiale dei corpi stessi. Anche l'incremento della permeabilità del mezzo che separa i corpi determina un aumento della capacità.

Figura 4.2

Il condensatore non è altro che un dispositivo che si fonda su quanto appena detto; se consideriamo la più semplice configurazione di un capacitore, consistente in due superfici piane conduttrici di uguale forma (ad esempio circolare) e area (pari ad A), distanti tra loro d e separate dal vuoto (figura 4.2), dalla formual 4.1 si ha:

ove il pedice "0" sta ad indicare che tra le due superfici piane (chiamate armature) vi è il vuoto, Q è la carica presente sulle armature (sulla armatura con segno "+" si ha +Q, su quella con segno "-" si ha -Q), e V₀ è la differenza di potenziale tra le armature. Da quanto detto, risulta poi che, per questo tipo di condensatore:

ove ε₀ è la permeabilità elettrica del vuoto (anche il vuoto è un materiale isolante; i materiali isolanti sono anche detti dielettrici per cui ε₀ è anche detta costante dielettrica del vuoto). Nel caso di geometrie diverse da quella piana, la capacità ha una diversa espressione, ma è comunque proporzionale alla permeabilità elettrica del vuoto.

4.1.3 Costante dielettrica relativa

Lasciando invariata la geometria del condensatore e la carica presente sulle armature, riempiamo ora uniformemente l'intercapedine compresa tra le armature stesse di figura 4.2 con un materiale isolante omogeneo ed isotropo (in una sostanza isotropa le proprietà fisiche non dipendono dalla direzione in cui si analizza la sostanza stessa), non dotato di alcuna carica: si osserva allora che tra le armature si stabilisce una differenza di potenziale V < V₀.

In base alla formula 4.1, ciò significa che in presenza del dielettrico la capacità C del condensatore è maggiore della capacità C₀ che esso aveva quando fra le armature vi era il vuoto. Possiamo perciò definire la costante dielettrica (ovvero permeabilità elettrica) relativa così:

e si ha che è sempre ε_r > 1 ed è un numero adimensionale. Dalle formule 4.2 e 4.3 si ricava:

ove la costante:

è la costante dielettrica assoluta del materiale in esame. Valori tipici della costante dielettrica relativa, per alcuni comuni materiali dielettrici, sono quelli riportati in tabella 4.1.

In sostanza, possiamo dire che l'effetto della presenza di un materiale isolante è di diminuire, fissata la carica Q, il valore del potenziale tra le armature per un fattore detto costante dielettrica relativa. La permeabilità assoluta del vuoto è: