Questa lezione descrive la procedura di calcolo della tensione equivalente di Thévenin, v_T, per un circuito arbitrario ad elementi resistivi lineari. La tensione equivalente di Thévenin è definita come segue:

La tensione equivalente di Thévenin del generatore è pari alla tensione di circuito aperto presente ai morsetti del carico quando il carico è rimosso.

Ciò significa che per poter calcolare v_T, è sufficiente rimuovere il carico e calcolare la tensione di circuito aperto ai morsetti della rete ad ingresso singolo così ottenuta.

3.11.1 Calcolo della tensione equivalente di Thévenin

Figura 3.45

Figura 3.46

La figura 3.45 mostra che la tensione di circuito aperto, v_OC, e la tensione di Thévenin, v_T, devono essere uguali se è valido il teorema di Thévenin.
   Questo è chiaramente vero dal momento che nel circuito costituito da v_T e R_T, la tensione v_OC deve essere uguale a v_T, giacché attraverso R_T non passa corrente e pertanto la tensione ai capi di R_T è nulla. La legge di Kirchhoff delle tensioni conferma che:

v_T = R_T + v_OC = 0 + v_OC         (F3.30)

L'effettivo calcolo della tensione di circuito è meglio illustrato dagli esempi; non c'è altro modo per diventare familiari con questi calcoli che fare molta pratica. Per riassumere i punti principali per il calcolo della tensione di circuito aperto, si consideri il circuito di figura 3.33, mostrato di nuovo in figura 3.46 per comodità. Ricordiamo che la resistenza equivalente di questo circuito è data da:

R_T = R₃ + R₁||R₂

Per calcolare v_OC, stacchiamo il carico come mostrato in figura 3.47, e osserviamo subito che attraverso R₃ non passa corrente, poiché questo ramo non appartiene ad un circuito chiuso. Pertanto, v_OC deve essere uguale alla tensione ai capi di R₂, come illustrato in figura 3.48.

Figura 3.47

Figura 3.48

Dal momento che il solo circuito chiuso è dato dalla maglia costituita da v_S, R₁ e R₂, la risposta che cerchiamo può essere ottenuta con la regola di partizione delle tensioni (Cfr. Lezione 2.7):

v_OC = v_R2 = v_S × R₂/(R₁ + R₂)

E' istruttivo rivedere i concetti basilari sottolineati nell'esempio, considerando il circuito originale ed il suo equivalente di Thévenin lato per lato, come mostrato in figura 3.49.

a) Circuito originale	b) Equivalente di Thévenin
Figura 3.49

I due circuiti di figura 3.49 sono equivalenti, nel senso che la corrente richiesta dal carico, i_L, é la stessa in entrambi i circuiti, dal momento che la corrente è data da:

i_L = v_S × R₂/(R₁ + R₂) × 1/(R_L + (R₃ + R₁||R₂)) = v_T / (R_L + R_T)

3.11.2 Esempio

Vogliamo calcolare la tensione di circuito aperto di figura 3.44. Rimuovendo il carico, si ottiene un circuito a due maglie, come mostrato in figura 3.50. La tensione di circuito aperto, v_OC, è uguale alla tensione ai capi del resistore da 20 Ω, ed è perciò data dall'espressione:

v_OC = 20i₂


Figura 3.50

Scrivendo le equazioni di maglia per il circuito, otteniamo:

	(10 + 1)i1 - 10i2 = 12
	-10i1 + 40i2 = 0

Il sistema di equazioni può essere facilmente risolto, ottenendo:

i₂ = 0.3529 A

ovvero:

v_OC = 20i₂ = 7.06 V

3.11.3 Esempio

In figura 3.51, trovare il circuito equivalente di Thévenin della rete a sinistra dei morsetti a e b, ed usare il risultato per trovare la corrente i che passa nel carico da 6 Ω.

Soluzione:

Prima di tutto, sostituiamo il generatore di tensione con un corto circuito ed il generatore di corrente con un circuito aperto. Il circuito appare come mostrato in figura 3.52. Tra i morsetti a e b vi è un resistenza equivalente pari a:

R_T = 12||3 = 3 Ω

Figura 3.51 Circuito originale

Figura 3.52

Per la tensione di circuito aperto, possiamo immediatamente osservare che v_OC deve essere pari alla tensione ai capi del resistore da 12 Ω. Per trovare v_OC si può applicare l'analisi per maglie, come mostrato in figura 3.53. Applicando la legge di Kirchhoff delle tensioni alle maglie 1 e 2, otteniamo:

	4i1 - 24 + v1 = 0
	12i2 - v1 = 0

Figura 3.53

Figura 3.54

Osserviamo, inoltre, che il generatore di corrente costringe le correnti di maglia a soddisfare la relazione:

i₂ - i₁ = 3

Riarrangiando le tre equazioni, possiamo formulare un sistema di due equazioni in due incognite:

	4i1 + 12i2 = 24
	-i1 + i2 = 3

Risolvendo il sistema, si ottiene: i₁ = -0.75 A, e i₂ = 2.25 A.
   Osservando che la tensione di circuito aperto è effettivamente pari alla tensione ai capi del resistore da 12 Ω, troviamo che la tensione equivalente di Thévenin risulta essere:

i_T = v_OC = 12i₂ = 27 V

Infine, per determinare la corrente i, colleghiamo il carico al circuito equivalente di Thévenin, come mostrato in figura 3.54, ed otteniamo:

i = v_OC / (R_T + 6) = 27 / (3 + 6) = 3 A

3.11.4 Esercizi

Proponiamo qui degli esercizi per prendere dimestichezza con quanto visto in questa lezione.

1. Con riferimento alla figura 3.46, trovare la corrente iL che passa nel carico con l'analisi per maglie, assumendo che v_s = 10 V, R₁ = R₃ = 50 Ω, R₂ = 100 Ω, R_L = 150 Ω. [Risposta: i_L = 0.02857 A]

2. Trovare il circuito equivalente di Thévenin visto dal carico i_L per il circuito di figura 3.55.

   
   Figura 3.55 [Risposta: R_T = 30 Ω; v_OC = v_T = 5 V]

3. Trovare il circuito equivalente di Thévenin per il circuito di figura 3.56.

Figura 3.56 [Risposta: R_T = 10 Ω; v_OC = v_T = 0.704 V]