2.8.1 Resistori in parallelo

Come anticipato nella Lezione precedente, benché i circuiti elettrici possano assumere forme molto complicate, perfino i circuiti più complessi possono essere ridotti a combinazione di elementi circuitali in parallelo ed in serie.
   L'obiettivo di questa lezione è di illustrare il caso di resistori in parallelo, sviluppando un concetto analogo a quanto visto per le tensioni, ovvero il partitore di corrente, applicando la legge di Kirchhoff delle correnti ad un circuito contenente solo resistori in parallelo. Vale la seguente definizione:

Due o più elementi circuitali si dicono in parallelo se ai capi di ciascun elemento si ha la stessa tensione (ovvero differenza di potenziale).

a) La tensione v è la stessa ai capi di ciascun elemento in parallelo; in base alla legge di Kirchhoff delle correnti, si ha: i_s = i₁ + i₂ + i₃

b) N resistori in parallelo sono equivalenti ad un singolo resistore equivalente con resistenza pari al reciprocodella somma dei reciproci delle singole resistenze.

Figura 2.31 Resistenze in parallelo

La fig. 2.31 illustra la nozione di resistori in parallelo collegati ad un generatore ideale di corrente. La legge di Kirchhoff delle correnti richiede che la somma delle correnti ad esempio nel nodo superiore sia zero:

i_s = i₁ + i₂ + i₃

In virtù della legge di Ohm, possiamo esprimere ogni corrente come segue:

i₁ = v / R₁      i₂ = v / R₂      i₃ = v / R₃

poiché, per definizione, ai capi di ciascun elemento misuriamo la stessa differenza di potenziale v; applicando la legge di Kirchhoff delle correnti, si può dunque riscrivere come segue:

i_s = v( 1 / R₁ + 1 / R₂ + 1 / R₃)

Notiamo a questo punto piuttosto facilmente che questa equazione può essere anche scritta in termini di una singola resistenza equivalente:

i_s = v( 1 / R_EQ)

dove:

1 / R_EQ = ( 1 / R₁ + 1 / R₂ + 1 / R₃)

Come illustrato in fig. 2.31, si può generalizzare questo risultato ad un numero arbitrario di resistori collegati in parallelo affermando che N resistori in parallelo si comportano come un singolo resistore di resistenza equivalente R_EQ data dall'espressione:

    (F2.21)

ovvero:

    (F2.22)

Spesso nel seguito ci riferiremo alla combinazione in parallelo di due o più resistori con la seguente notazione:

R₁ || R₂ || ...

dove il simbolo || significa "in parallelo con". Dai risultati mostrati nelle equazioni 2.21 e 2.22, ottenuti direttamente dalla legge di Kirchhoff delle correnti, si può ricavare facilmente la regola di partizione delle correnti: N resistori in parallelo si comportano come un singolo resistore di resistenza equivalente R_EQ, il cui reciproco della resistenza è dato dalla somma dei reciproci di ciasun resistore (formula F2.21).

2.8.2 Partitore di corrente

Consideriamo di nuovo il circuito a tre resistori di figura 2.31. Dall'espressione già derivata per ciascuna delle correnti, i₁, i₂ ed i₃, possiamo scrivere:

i₁ = v / R₁      i₂ = v / R₂      i₃ = v / R₃

e poiché v = R_EQi_s, queste correnti possono essere riscritte così:

Si può facilmente vedere che la corrente in un circuito in parallelo si ripartisce in modo inversamente proporzionale alla resistenza del singolo elemento in parallelo. L'espressione generale della regola di partizione delle correnti per un circuito con N resistori in parallelo è dunque riscritta secondo la seguente formula:

     (F2.23)

La formula 2.23 è al cosidetta formula del partitore di corrente.

L'analisi delle reti che introdurremo nel capitolo 3 è basata sui semplici principi fin qui esposti. Sfortunatamente, nella pratica i circuiti sono raramente costituiti da elementi solo in serie o solo in parallelo. I seguenti esempi ed esercizi illustrano alcuni casi semplici che combinano elementi in serie ed in parallelo.

2.8.3 Esempio 1

Trovare la corrente i_x nel circuito mostrato in figura 2.32.

Soluzione:
Il modo più diretto per ottenere la soluzione consiste nell'applicare la regola di partizione delle correnti, in cui la resistenza da 10 Ω è associata alla corrente desiderata:

i_x = 4 × (1/10) / ((1/10) + (1/2) + (1/20)) = 4 × 0.1538 = 0.6154 Ω

Un modo equivalente, ma meno diretto, per ottenere lo stesso risultato, consiste nel calcolare la resistenza equivalente del circuito in parallelo, determinare la tensione in parallelo, v, e calcolare la corrente incognita così:

i_x= v / 10

Figura 2.32

Viene lasciata per esercizio la dimostrazione che questo metodo non è così diretto come l'applicazione della regola di partizione delle correnti.

2.8.4 Esempio 2 - Circuito misto

Il circuito di figura 2.33 non è né in serie né un in parallelo; pertanto, non è possibile determinare direttamente la tensione v o la corrente i tramite la regola di partizione delle tensioni o delle correnti viste prima. Come possono essere determinati v ed i?

Figura 2.33

Soluzione:
Il circuito assume un aspetto più semplice non appena si nota che entrambi i resistori R₂ ed R₃ presentano ai loro estremi la stessa differenza di potenziale e che, per tale ragione, i due elementi sono in parallelo. Applicando la regola di partizione delle correnti, questi due resistori vengono sostituiti da un singolo resistore equivalente, in base a quanto descritto precedentemente, e si ottiene quindi il circuito equivalente di fig. 2.34.

Figura 2.34

Notiamo ora che il circuito equivalente di figura 2.34 è un semplice circuito in serie, e si può applicare la regola di partizione delle tensioni; si ha pertanto:

v = v_s × (R₂||R₃) / (R₁ + (R₂||R₃))

per cui la corrente è:

i = v_s / (R₁ + (R₂||R₃))