3.1.1 Metodo delle tensioni di nodo

Il metodo delle tensioni di nodo è il metodo più generale per l'analisi dei circuiti elettrici. In questo paragrafo illustreremo la sua applicazione ai circuiti lineari a resistenza. Il metodo consiste nel definire il potenziale (ovvero la tensione) a ciascun nodo come una variabile indipendente.
   Poiché il potenziale ha senso solo se riferito ad un potenziale di riferimento, anziché prendere il potenziale terrestre, uno dei nodi viene assunto come nodo di riferimento ed il suo potenziale diviene il potenziale di riferimento (cioè lo zero del potenziale); il potenziale di ogni altro nodo viene quindi espresso in funzione di questo riferimento.
   Una volta definiti i potenziali di nodo, si può applicare la legge di Ohm tra due nodi adiacenti, in modo da determinare la corrente che transita in ogni ramo. Nel metodo delle tensioni di nodo, ogni corrente di ramo viene espressa in funzione di uno o più potenziali di nodo; in questo modo, le correnti non compaiono esplicitamente nelle equazioni.

Figura 3.1 Notazione della corrente di ramo nell'analisi per nodi

Consideriamo la figura 3.1: come si definisce la corrente di ramo in questo metodo? Noi assegniamo i potenziali ai nodi v_a e v_b; la corrente di ramo che transita da a a b è allora espressa in funzione di questi potenziali di nodo:

i = (v_a - v_b) / R

Una volta definite tutte le correnti di ramo in funzione delle tensioni ai nodi, si applica la legge di Kirchhoff delle correnti ad ogni nodo, prendendo le correnti entranti nei nodi con il segno positivo e quelle uscenti con il segno negativo (ma è anche possibile scegliere la convenzione opposta; è bene, tuttavia, adoperare sempre la stessa convenzione per evitare di fare confusione): in tal modo deve essere Σi_k = 0, dove k è l'indice dei rami collegati al nodo. Alla luce delle convenzioni di segno adottate per le correnti ai nodi, possiamo anche scrivere che:

Σi_in = Σi_out        (F3.1)

Figura 3.2 Uso della legge di Kirchhoff nell'analisi ai nodi

cioè, la somma delle correnti che entrano nel nodo deve eguagliare la somma delle correnti che escono dallo stesso. La figura 3.2 illustra questa procedura: in base alla legge di Kirchhoff si ha, perciò:

i₁ - i₂ - i₃ = 0         ovvero        i₁ = i₂ + i₃

Nel metodo delle tensioni ai nodi si scrive, quindi:

(v_a - v_b) / R₁ = ((v_b - v_c) / R₂) + ((v_b - v_d) / R₃)

L'applicazione sistematica di questo metodo ad un circuito con n nodi porta a scrivere n equazioni.

Tuttavia, una delle tensioni di nodo è il potenziale di riferimento ed è perciò già noto, giacché è di solito convenientemente posto pari a zero. Così, possiamo scrivere n-1 equazioni indipendenti in n-1 variabili indipendenti (costituite dalle tensioni di nodo). L'analisi ai nodi fornisce il minimo numero di equazioni necessarie per risolvere il circuito, in quanto ogni tensione o corrente di ramo può essere determinata dalla conoscenza delle tensioni di nodo.

3.1.2 I passi fondamentali del Metodo delle tensioni di nodo

Il metodo dell'analisi per nodi può essere definito come una sequenza di passi come segue:

1. Si identificano i nodi e si quantifica il loro numero;
2. Si sceglie un nodo come nodo di riferimento e "lo si pone a terra" (cioè si pone convenientemente pari a 0 il suo potenziale). Tutti gli altri potenziali di nodo vengono riferiti a questo nodo;
3. Si definiscono i rimanenti n-1 potenziali (tensioni) di nodo come variabili indipendenti;
4. Si applica la legge di Kirchhoff delle correnti a ciascuno degli n-1 nodi, esprimendo ciascuna corrente in funzione dei potenziali dei nodi adiacenti;
5. Si risolve il sistema lineare di n-1 equazioni in n-1 incognite così ottenuto.

Seguendo la procedura appena esposta, si ha la garanzia di trovare la soluzione corretta di un dato circuito, una volta che si siano identificati propriamente i nodi e che la legge di Kirchhoff delle correnti sia stata applicata consistentemente. Per illustrare il metodo, consideriamo il circuito di figura 3.3. Il circuito è mostrato in due forme diverse per illustrare rappresentazioni grafiche equivalenti dello stesso circuito.

Figura 3.3

Il circuito sulla destra non lascia dubbi su dove siano i nodi; infatti, non ci si deve far ingannare dal disegno, in cui i rami né attivi né passivi, ma di puro collegamento, sembrano generare più nodi: è consigliabile, in effetti, ridisegnare a parte il circuito (come fatto qui) eliminando tutti i pezzi di ramo di puro collegamento (facendoli tendere idealmente a lunghezza zero): in tal modo resterà solo ciò che è effettivamente indispensabile, come fatto in figura 3.3.

La direzione delle correnti viene scelta arbitrariamente (assumiamo, così, che i_S sia una corrente positiva). L'applicazione della legge di Kirchhoff delle correnti (formula 3.1) al nodo a consente di scrivere:

i_S = i₂ + i₁      (F3.2)

mentre al nodo b si ha:

i₂ = i₁      (F3.3)

E' istruttivo verificare (almeno la prima volta che si applica il metodo) che non è necessario applicare la legge di Kirchhoff delle correnti al nodo di riferimento. L'equazione che si ottiene al nodo c è infatti:

i_S = i₁ + i₃      (F3.4)

che è una equazione dipendente dalla 3.2 e dalla 3.3; infatti può essere ottenuta per somma membro a membro tra la 3.2 e la 3.3 (lo si verifichi per esercizio). Questa osservazione conferma l'affermazione fatta in precedenza: in un circuito contenete n nodi, possiamo scrivere al massimo n-1 equazioni indipendenti. Ora, nell'applicare il metodo delle tensioni di nodo, le correnti i₁, i₂, ed i₃ sono espresse come funzioni di v_a, v_b e v_c, che sono le variabili indipendenti. La legge di Ohm richiede che i₁, per esempio, sia dato da:

i₁ = (v_a - v_c) / R₁      (F3.5)

poiché la differenza di potenziale, v_a - v_c, ai capi di R₁, provoca il passaggio della corrente i₁ dal nodo a al nodo c. Analogamente:

i₂ = (v_a - v_b) / R₂      (F3.6a)
i₃ = (v_b - v_c) / R₃      (F3.6a)

Sostituendo queste tre espressioni nella 3.2 e nella 3.3, otteniamo le seguenti relazioni:

	iS = va / R1 + (va - vb) / R2       (F3.7)
	(va - vb) / R2 = vb / R3              (F3.8)

Le equazioni 3.7 e 3.8 possono anche essere ricavate direttamente dal circuito con un po' di pratica (lo vedremo). Si noti che queste equazioni possono essere risolte per v_a e v_b, assumendo che i_S, R₁, R₂ e R₃ siano noti. Lo stesso sistema può essere riscritto come segue:

	(1 / R1 + 1 / R2)va + (- 1 / R2)vb = iS       (F3.9a)
	(- 1 / R2)va + (1 / R2 + 1 / R3)vb = 0        (F3.9b)

Nella prossima lezione vedremo degli esempi che illustrano ulteriormente l'applicazione del metodo.