3.7.1 Equazione di vincolo

Quando un generatore dipendente è presente in un circuito che deve essere studiato con l'analisi per nodi o per maglie, lo si può trattare, inizialmente, come un generatore ideale, scrivendo le equazioni nodali o di maglia conseguenti. In aggiunta ad esse, ci sarà anche un'equazione che correla il generatore dipendente ad una delle correnti o tensioni del circuito.
   Questa equazione di vincolo può quindi essere sostituita nel set di equazioni ottenute per mezzo delle tecniche dell'analisi per nodi e per maglie, e si può, poi, procedere nella risoluzione del sistema di equazioni così ottenuto.

Figura 3.22

E' assai importante rimarcare che, una volta che l'equazione di coercizione è stata sostituita nel sistema di equazioni, il numero di incognite rimane lo stesso. Consideriamo, per esempio, il circuito di figura 3.22, che è un modello semplificato di un transistore amplificatore bipolare.
   Nel circuito di figura 3.22 si individuano facilmente due nodi, e pertanto scegliamo il metodo dell'analisi per nodi. Applicando la legge di Kirchhoff delle correnti al nodo 1, otteniamo la seguente equazione:

i_S = v₁(1/R_S + 1/R_b)         (F3.23)

La stessa legge di Kirchhoff applicata al secondo nodo ci dà:

-75i_b = v₂/R_C         (F3.24)

Si può osservare come la corrente i_b può essere determinata per mezzo del partitore di corrente (Cfr. Lezione 2.8):

i_b = i_S × R_S/(R_b + R_S)         (F3.25)

e, pertanto, si ottiene un sistema di due equazioni:

	iS = v1(1/RS + 1/Rb)	(F3.26)
	-75iS= (v2/RC) × (Rb + RS)/RC

che può essere risolto per ricavare v₁ e v₂. Si noti che, in questo particolare caso, le due equazioni sono indipendenti l'una dall'altra. Il seguente esempio illustra un caso in cui le equazioni che risultano non sono indipendenti.

3.7.2 Esempio

Risolveremo ora il circuito di figura 3.23 con il metodo delle correnti di maglia.

Figura 3.23

Il generatore dipendente v_X dipende dalla corrente di maglia i2 secondo la relazione v_X = 0.5i₂ (è l'equazione di coercizione). In base alla tecnica di risoluzione proposta all'inizio di questa Lezione, dapprima scriviamo le equazioni di maglia convenzionali, trattando v_X come un generatore ideale indipendente:

	VX - 6 = 5i1	maglia 1
	6 = (2 + 4)i2	maglia 2

Sostituendo l'equazione di coercizione nell'equazione della maglia 1, si ha 0.5i₂ - 6 = 5i₁. Dall'equazione della maglia 2, si ottiene: i₂ = 1 A. Dall'equazione della maglia 1 si ottiene, perciò: i₁ = -1.1 A.

Si può verificare che la soluzione è corretta applicando la legge di Kirchhoff delle tensioni alla prima maglia (lo si lascia per esercizio).

3.7.3 Note sui metodi delle tensioni di nodo e delle correnti di maglia

Le tecniche presentate in questa e nelle Lezioni precedenti trovano uso più generale che nella sola analisi dei circuiti con elementi resistivi. Questi metodi devono essere visti come tecniche generali per l'analisi di ogni circuito lineare; essi forniscono strumenti sistematici ed efficaci per ottenere il minor numero di equazioni necessarie a risolvere un problema sulle reti.

Poiché questi metodi sono basati sulle leggi fondamentali dell'analisi dei circuiti, cioè le due leggi di Kirchhoff, essi si applicano ad ogni circuito elettrico, perfino a circuiti contenenti elementi circuitali non lineari. E' pertanto opportuno acquisire al più presto familiarità con queste tecniche, perché ciò favorirà il processo di apprendimento.

3.7.4 Esercizi

1) In figura 3.24 il generatore di corrente i_x è correlato alla tensione v_x dalla relazione i_x = v_x / 3 . Trovare la tensione ai capi del resistore da 8 Ω tramite l'analisi per nodi. [Soluzione: 12 V]

2) In figura 3.25, trovare la corrente incognita i_x usando il metodo delle correnti di maglia. Il generatore dipendente di tensione è correlato alla corrente i₁₂ che attraversa il resistore da 12 Ω in base alla relazione: v_x = 2i₁₂. [Soluzione: 1,39 A]

Figura 3.24

Figura 3.25