Il calcolo della corrente equivalente di Norton è concettualmente molto simile a quello della tensione di Thévenin visto nella lezione precedente. Diamo la seguente definizione:
La corrente equivalente di Norton è pari alla corrente di corto circuito che si avrebbe se il carico fosse sostituito da un corto circuito.
Una facile spiegazione della definizione della corrente di Norton si trova se si considera, nuovamente, un'arbitraria rete a porta singola, come mostrato in figura 3.57, dove la rete a porta singola è mostrata insieme al suo circuito equivalente di Norton.
Figura 3.57 Rete e circuito equivalente di Norton
Dovrebbe risultare chiaro che la corrente iSC, che passa nel corto circuito che rimpiazza il carico, è esattamente la corrente di Norton, iN, giacché l'intera corrente nel circuito di figura 3.57 deve passare nel corto circuito. Si consideri il circuito di figura 3.58, mostrato con un corto circuito al posto della resistenza di carico.
Figura 3.58
Ciascuna delle tecniche precedentemente presentate in questo capitolo può essere impiegata per determinare la corrente iSC. In questo particolare caso, conviene usare l'analisi per maglie, una volta che ci si è accorti che la corrente di corto circuito è una corrente di maglia. Siano i1 e i2 = iSC le correnti di maglia del circuito di figura 3.58. Allora, il sistema delle equazioni di maglia è il seguente:
(R1 + R2)i1 - R2iSC = vS | |
-R2i1 + (R2 + R3)iSC = 0 |
che può essere agevolmente risolto. Una formulazione alternativa può essere fatta impiegando l'analisi per nodi per derivare l'equazione:
(vS - v)/R1 = v/R2 + v/R3
che porta a:
v = vS × (R3R3)/(R1R3 + R2R3 + R1R2)
Osservando che iSC = v/R3, possiamo determinare la corrente di Norton:
iN = v/R3 = vS × R3/(R1R3 + R2R3 + R1R2) (F3.31)
Perciò, concettualmente, il calcolo della corrente di Norton richiede semplicemente di identificare appropriatamente la corrente di corto circuito.
Questa lezione descrive la procedura di calcolo della tensione equivalente di Thévenin, vT, per un circuito arbitrario ad elementi resistivi lineari. La tensione equivalente di Thévenin è definita come segue:
La tensione equivalente di Thévenin del generatore è pari alla tensione di circuito aperto presente ai morsetti del carico quando il carico è rimosso.
Ciò significa che per poter calcolare vT, è sufficiente rimuovere il carico e calcolare la tensione di circuito aperto ai morsetti della rete ad ingresso singolo così ottenuta.
Figura 3.45 |
Figura 3.46 |
La figura 3.45 mostra che la tensione di circuito aperto, vOC, e la tensione di Thévenin, vT, devono essere uguali se è valido il teorema di Thévenin.
Questo è chiaramente vero dal momento che nel circuito costituito da vT e RT, la tensione vOC deve essere uguale a vT, giacché attraverso RT non passa corrente e pertanto la tensione ai capi di RT è nulla. La legge di Kirchhoff delle tensioni conferma che:
vT = RT + vOC = 0 + vOC (F3.30)
L'effettivo calcolo della tensione di circuito è meglio illustrato dagli esempi; non c'è altro modo per diventare familiari con questi calcoli che fare molta pratica. Per riassumere i punti principali per il calcolo della tensione di circuito aperto, si consideri il circuito di figura 3.33, mostrato di nuovo in figura 3.46 per comodità. Ricordiamo che la resistenza equivalente di questo circuito è data da:
RT = R3 + R1||R2
Per calcolare vOC, stacchiamo il carico come mostrato in figura 3.47, e osserviamo subito che attraverso R3 non passa corrente, poiché questo ramo non appartiene ad un circuito chiuso. Pertanto, vOC deve essere uguale alla tensione ai capi di R2, come illustrato in figura 3.48.
Figura 3.47 |
Figura 3.48 |
Dal momento che il solo circuito chiuso è dato dalla maglia costituita da vS, R1 e R2, la risposta che cerchiamo può essere ottenuta con la regola di partizione delle tensioni (Cfr. Lezione 2.7):
vOC = vR2 = vS × R2/(R1 + R2)
E' istruttivo rivedere i concetti basilari sottolineati nell'esempio, considerando il circuito originale ed il suo equivalente di Thévenin lato per lato, come mostrato in figura 3.49.
a) Circuito originale |
b) Equivalente di Thévenin |
Figura 3.49 |
I due circuiti di figura 3.49 sono equivalenti, nel senso che la corrente richiesta dal carico, iL, é la stessa in entrambi i circuiti, dal momento che la corrente è data da:
iL = vS × R2/(R1 + R2) × 1/(RL + (R3 + R1||R2)) = vT / (RL + RT)
Vogliamo calcolare la tensione di circuito aperto di figura 3.44. Rimuovendo il carico, si ottiene un circuito a due maglie, come mostrato in figura 3.50. La tensione di circuito aperto, vOC, è uguale alla tensione ai capi del resistore da 20 Ω, ed è perciò data dall'espressione:
vOC = 20i2
Figura 3.50
Scrivendo le equazioni di maglia per il circuito, otteniamo:
(10 + 1)i1 - 10i2 = 12 | ||
-10i1 + 40i2 = 0 |
Il sistema di equazioni può essere facilmente risolto, ottenendo:
i2 = 0.3529 A
ovvero:
vOC = 20i2 = 7.06 V
In figura 3.51, trovare il circuito equivalente di Thévenin della rete a sinistra dei morsetti a e b, ed usare il risultato per trovare la corrente i che passa nel carico da 6 Ω.
Soluzione:
Prima di tutto, sostituiamo il generatore di tensione con un corto circuito ed il generatore di corrente con un circuito aperto. Il circuito appare come mostrato in figura 3.52. Tra i morsetti a e b vi è un resistenza equivalente pari a:
RT = 12||3 = 3 Ω
Figura 3.51 Circuito originale |
Figura 3.52 |
Per la tensione di circuito aperto, possiamo immediatamente osservare che vOC deve essere pari alla tensione ai capi del resistore da 12 Ω. Per trovare vOC si può applicare l'analisi per maglie, come mostrato in figura 3.53. Applicando la legge di Kirchhoff delle tensioni alle maglie 1 e 2, otteniamo:
4i1 - 24 + v1 = 0 | |
12i2 - v1 = 0 |
Figura 3.53 |
Figura 3.54 |
Osserviamo, inoltre, che il generatore di corrente costringe le correnti di maglia a soddisfare la relazione:
i2 - i1 = 3
Riarrangiando le tre equazioni, possiamo formulare un sistema di due equazioni in due incognite:
4i1 + 12i2 = 24 | |
-i1 + i2 = 3 |
Risolvendo il sistema, si ottiene: i1 = -0.75 A, e i2 = 2.25 A.
Osservando che la tensione di circuito aperto è effettivamente pari alla tensione ai capi del resistore da 12 Ω, troviamo che la tensione equivalente di Thévenin risulta essere:
iT = vOC = 12i2 = 27 V
Infine, per determinare la corrente i, colleghiamo il carico al circuito equivalente di Thévenin, come mostrato in figura 3.54, ed otteniamo:
i = vOC / (RT + 6) = 27 / (3 + 6) = 3 A
Proponiamo qui degli esercizi per prendere dimestichezza con quanto visto in questa lezione.
Trovare il circuito equivalente di Thévenin visto dal carico iL per il circuito di figura 3.55.
Trovare il circuito equivalente di Thévenin per il circuito di figura 3.56.
Figura 3.56 [Risposta: RT = 10 Ω; vOC = vT = 0.704 V]
Nella Lezione precedente, abbiamo introdotto i due teoremi fondamentali per l'analisi deic circuiti. Si tratta ora di prendere dimestichezza con l'applicazione pratica di questi teoremi ai circuiti stessi, per calcolare la resistenza equivalente.
Il primo passo nel calcolare un circuito equivalente di Thévenin o Norton consiste nel trovare la resistenza equivalente presentata dal circuito ai morsetti a e b. Questo può essere fatto mandando a zero nel circuito tutti i generatori e calcolando la resistenza effettiva tra i due morsetti.
Circuito completo |
Circuito in cui è stato messo a 0 il generatore |
Figura 3.33 |
I generatori di tensione e corrente presenti nel circuito vengono mandati a zero con la stessa tecnica adottata nel caso del principio di sovrapposizione: i generatori di tensione vengono sostituiti con un corto circuito, quelli di corrente con un circuito aperto. Per illustrare la procedura, si consideri il semplice circuito di figura 3.33; l'obiettivo è calcolare la resistenza equivalente che il carico RL "vede" tra gli ingressi a e b.
Per calcolare la resistenza equivalente, noi rimuoviamo il carico dal circuito e rimpiazziamo il generatore di tensione vS con un corto circuito. A questo punto, dai morsetti a e b noi vediamo il circuito come in figura 3.34.
a) Circuito simulato |
b) Circuito equivalente |
Figura 3.34 |
Si può vedere che R1 e R2 sono in parallelo, giacché sono connesse agli stessi due nodi. Se la resistenza totale tra i morsetti a e b è indicata con RT, il suo valore è dato da:
RT = R3 + R2||R1 (F3.28)
Un modo alternativo di ricavare RT è mostrato in figura 3.35, dove un ipotetico generatore di corrente da 1 A è stato collegato ai morsetti a e b. La tensione vX che si ha tra i capi a e b sarà allora numericamente pari a RT (questo solo perché is = 1 A!!!).
a) Circuito simulato con generatore da 1 A |
b) Circuito equivalente |
Figura 3.35 |
E' chiaro che la corrente del generatore da 1 A, prima di completare il suo percorso, incontra la resistenza R3 e poi il parallelo R2||R1, e dunque la resistenza totale incontrata è proprio la Formula 3.28.
Riassumendo, per il calcolo della resistenza equivalente di Thévenin (o Norton) in un circuito ad elementi resistivi lineari, si può seguire la procedura:
Notiamo subito che questa procedura fornisce un risultato che è indipendente dal carico. Questa è una proprietà molto desiderabile, in quanto, una volta identificata la resistenza equivalente del circuito "sorgente" (cioè il circuito in cui sono presenti i generatori), il circuito equivalente rimane invariato se colleghiamo ad esso un carico diverso. I seguenti esempi illustrano ulteriormente quanto detto.
Troviamo la resistenza equivalente di Thévenin vista da RL nel circuito di figura 3.36.
Figura 3.36 Circuito originale
Dopo aver rimpiazzato il generatore di corrente con un circuito aperto, il circuito appare come mostrato in figura 3.37. Tra i morsetti a e b risulta esserci una resistenza equivalente data da:
RT = ((20||20) + 10)||20 + 10 = 20 Ω
Circuito con circuito aperto al posto del generatore |
Figura 3.37 |
Per il circuito mostrato in figura 3.38, vogliamo trovare la resistenza equivalente di Thévenin vista dal carico RL.
Figura 3.38 Circuito originale
Prima di tutto rimpiazziamo il generatore di tensione con un corto circuito ed il generatore di corrente con un circuito aperto. Il circuito ha ora l'aspetto mostrato in figura 3.39. Tra i morsetti a e b la resistenza equivalente è pari a:
RT = ((2||2) + 1)||2 = 1 Ω
Circuito modificato |
Figura 3.39 |
Va infine sottolineato che le resistenze equivalenti di Thévenin e di Norton sono la stessa quantità:
RT = RN (F3.29)
Di conseguenza, la discussione precedente vale sia che vogliamo calcolare la resistenza equivalente di Thévenin, sia che vogliamo calcolare quella di Norton. Da questa Lezione in avanti, pertanto, noi useremo esclusivamente la notazione RT sia per la resistenza equivalente di Thévenin che per quella di Norton.
Proponiamo qui degli esercizi per prendere dimestichezza con quanto visto in questa lezione.
Figura 3.40
Figura 3.41
Figura 3.42
Figura 3.43
Figura 3.44
Ricordando la discussione fatta nel Capitolo 2 relativamente ai generatori ideali (Cfr. Lezione 2.03), concettualmente il flusso di energia da un generatore ad un carico può essere descritto in una forma molto generale, mediante la connessione di due "scatole" chiamate generatore e carico (figura 3.28a).
Nella stessa figura 2.8 erano mostrate altre due descrizioni dello stesso concetto: una simbolica, mostrante un generatore di tensione ed un resistore ideale, ed una fisica, in cui il carico era costituito da un faro ed il generatore da una batteria d'automobile.
Qualunque sia la forma grafica prescelta per la rappresentazione del sistema generatore-carico, ciascun blocco (generatore o carico) può essere visto come un dispositivo a due terminali, descritto da una sua caratteristica i-v.
Figura 3.28a |
Figura 3.28b |
Questa rappresentazione generale del circuito è mostrata in figura 3.28b. Questa rappresentazione è chiamata rete ad ingresso singolo ed è particolarmente utile per introdurre la nozione di circuito equivalente.
In generale, la rete che fornisce la corrente (source) oltre a contenere (ovviamente) generatori (di cui almeno uno deve essere indipendente), potrà contenere anche altri elementi circuitali (ad esempio, resistori); analogamente per la rete che assorbe la corrente (load). Lo vedremo.
Si noti che la rete di figura 3.28 è completamente descritta dalla sua caratteristica i-v; questo fatto è meglio illustrato dal seguente esempio.
Consideriamo il circuito mostrato in figura 3.29.
Figura 3.29
Se, ad esempio, volessimo determinare la richiesta di corrente fatta dalla rete resistiva a scapito del generatore di tensione, dovremmo calcolare la corrente i fornita dal generatore in base alla seguente espressione:
i = vs / (1 / (1/R1 + 1/R2 + 1/R3))
Dovrebbe risultare chiaro per quel che riguarda il generatore è irrilevante che il carico sia costituito da tre resistori in parallelo o da un singolo resistore equivalente di resistenza pari a:
REQ = 1 / (1/R1 + 1/R2 + 1/R3)
In ogni caso, noi possiamo rappresentare il carico per mezzo di un singolo resistore di resistenza equivalente REQ, come mostrato in figura 3.30.
Figura 3.30 Circuito di carico ed il suo equivalente
Similmente, se il generatore di tensione consiste di una batteria da 6 V, per quel che riguarda il carico è irrilevante che il circuito generatore sia costituito da una singola batteria da 6 V o da quattro batterie in serie da 1.5 V ciascuna. Questo porta a delle conseguenze importanti che discuteremo nel prossimo paragrafo.
Discuteremo ora l'importantissimo concetto di circuito equivalente. In base a quanto detto fin qui, mostreremo che è sempre possibile vedere circuiti anche complicati in termini di circuiti equivalenti molto più semplici, costituiti da un generatore ed un carico, e che le trasformazioni che portano al circuito equivalente sono gestibili facilmente con un po' di pratica. Nello studiare l'analisi per nodi e l'analisi per maglie, si sarà probabilmente notato che c'è una certa corrispondenza (dualità) tra i generatori di corrente ed i generatori di tensione, da un lato, ed i circuiti in serie ed in parallelo, dall'altro.
Questa dualità compare di nuovo molto chiaramente nell'analisi dei circuiti equivalenti: mostreremo brevemente che i circuiti equivalenti ricadono in una delle due classi, coinvolgendo o i generatori di tensione o quelli di corrente e (rispettivamente) o resistori in serie o resistori in parallelo, riflettendo tale principio di dualità.
La discussione sui circuiti equivalenti inizia con gli enunciati di due teoremi molto importanti, sintetizzati nelle figure 3.31 e 3.32.
Teorema di Thévenin: Nei confronti del carico, ogni rete costituita da generatori ideali di corrente e/o tensione, e da resistori lineari, può essere rappresentata come un circuito equivalente che consiste di un generatore ideale di tensione, vT, in serie con una resistenza equivalente, RT.
Figura 3.31 Illustrazione del teorema di Thévenin
Teorema di Norton: Nei confronti del carico, ogni rete costituita da generatori ideali di corrente e/o tensione, e da resistori lineari, può essere rappresentata come un circuito equivalente che consiste in un generatore ideale di corrente, iN, in parallelo con una resistenza equivalente, RN.
Figura 3.32 Illustrazione del teorema di Norton
La prima domanda che sorge spontanea è: come si calcolano correnti, tensioni e resistenze equivalenti?
Nel prosieguo del corso illustreremo come si procede nei calcoli, soprattutto tramite esempi. Tuttavia, il solo modo per acquisire dimestichezza con questi metodi è fare pazientemente numerosi esercizi.
Questo principio si applica esclusivamente a circuiti lineari, giacché discende dalla proprietà di linearità del circuito. Ricordiamo che la proprietà di linearità prevede che:
f(x1 + x2) = f(x1) + f(x2) | |
f(ax) = af(x) |
Quello che questo principio afferma è che in un circuito tempo-invariante contenente sorgenti indipendenti, l'effetto ottenuto su un qualsiasi elemento passivo del circuito può essere ottenuto come sovrapposizione algebrica degli effetti di ciascuna sorgente agente da sola con tutte le altre sorgenti sostituite dalla loro resistenza interna. La risposta al tempo t dipende solo dal valore dei generatori indipendenti allo stesso tempo t, in quanto i circuiti ad elementi resistivi non hanno "memoria".
Nel caso di sorgenti ideali, la resistenza di un generatore di tensione è zero (corto circuito), mentre quella di un generatore di corrente è infinita (circuito aperto). Il principio può essere enunciato come segue:
In un circuito lineare contenente N generatori, ogni tensione e corrente di ramo è la somma, rispettivamente, di N tensioni e di N correnti ciascuna delle quali può essere calcolata mandando a zero tutti i generatori eccetto uno, e risolvendo il circuito contenente il singolo generatore.
Un'illustrazione elementare del concetto può essere ottenuta facilmente considerando semplicemente un circuito con due generatori collegati in serie, come mostrato in figura 3.26:
Figura 3.26
Analizziamo ora più in dettaglio il circuito di figura 3.26. La corrente i che passa nel circuito a sinistra della figura può essere espressa così:
i = (vB1 + vB2) / R = iB1 + iB2 (F2.27)
La figura 3.26 mostra anche che il circuito è equivalente alla combinazione degli effetti di due subcircuiti, ciascuno contenente un singolo generatore. In ciascuno dei due subcircuiti, il generatore di tensione è stato sostituito con un corto circuito.
Ciò è consistente, giacché un corto circuito, per definizione, "vedrà" sempre una tensione nulla ai sui capi, e perciò questa procedura è equivalente a mandare a zero l'output di uno dei due generatori di tensione (figura 3.27a).
Per porre un generatore di tensione pari a zero, lo sostituiamo con un corto circuito.
Un semplice circuito Lo stesso circuito con vS = 0
Figura 3.27a
Se, d'altra parte, si desidera azzerare gli effetti di un generatore di corrente, si deve sostituire un circuito aperto al generatore di corrente, dal momento che un circuito aperto, per definizione, è un elemento (del circuito) attraverso cui non può passare corrente (e che perciò genererà una corrente nulla; figura 3.27b).
Per porre a zero un generatore di corrente, lo sostituiamo con un circuito aperto.
Un semplice circuito Lo stesso circuito con iS = 0
Figura 3.27b
Il principio di sovrapposizione può essere facilmente applicato a circuiti contenenti più generatori, e talvolta è un'efficace soluzione tecnica. Più spesso, tuttavia, altri metodi danno una soluzione in maniera più efficiente e meno "pesante" dal punto di vista computazionale. Per rendersene conto, si invita per esercizio a provare a risolvere gli esempi 3.5.2 e 3.5.3 con questo metodo.
Useremo ora il circuito di figura 3.27 ed il principio di sovrapposizione per determinare la corrente attraverso il resistore R2. Si assuma che: vS = 6 V, iS = 0.5 A, R1 = 50 Ω, R2 = 100 Ω.
La corrente attraverso il resistore R2 nel circuito di figura 3.27 è dovuta alla sovrapposizione degli effetti dei due generatori. Siano ii2 e iv2 le correnti che attraversano il resistore R2 dovute, rispettivamente, al generatore di corrente ed a quello di tensione. Allora, in base alla regola di partizione delle correnti:
ii2 = 0.5 × R1 / (R1 + R2) = 1/6 A
e per la regola di partizione delle tensioni e per la legge di Ohm:
iv2 = 6 × R2 / (R1 + R2) = 1/25 A
Infine, per il principio di sovrapposizione, la corrente i2 che passa per il resistore R2 è data da:
i2 = ii2 + iv2 = 1/6 + 1/25 = 0.207 A
Si può per esercizio verificare che questa soluzione è corretta usando l'analisi per nodi o per maglie.